quarta-feira, 1 de março de 2017

Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

                
         OPERAÇÕES COM FRAÇÕES – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
                    Frações com denominadores diferentes

Dando continuidade as nossas aulas sobre operações com frações, vamos falar sobre adição de frações com denominadores diferentes, para isso vamos imaginar a seguinte situação.
Digamos que uma dona de casa resolva fazer um bolo, ela utiliza para isso uma receita de bolo que diz que ela deve utilizar de um pote de margarina para preparar a massa do bolo e desse mesmo pote de margarina para preparar a cobertura do bolo. Qual a quantidade total de margarina necessária para a dona de casa fazer o bolo?
A quantidade total de margarina necessária para a dona de casa preparar o bolo será a soma das frações que representam as partes de margarina que será usada na massa mais a margarina que será usada na cobertura, montamos a soma das frações…
, essas frações representam partes de tamanhos diferentes, pois seus denominadores são diferentes, representa uma parte de um inteiro que foi dividido em três partes iguais, representa uma parte de um inteiro que foi dividido apenas em duas partes, portanto as duas frações representam partes de tamanhos diferentes conforme mostra a figura abaixo.
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Por esse motivo não podemos expressar o resultado da soma em nenhum desses denominadores.
Então a pergunta é, como somar frações que têm os denominadores diferentes?
Aprendemos anteriormente a somar frações que tinham todos os denominadores iguais, mas o que fazer para somar frações com denominadores diferentes? Devemos deixar as frações com todos os denominadores iguais!
A única maneira de somar ou subtrair frações é quando elas têm todos os denominadores iguais, por isso temos que deixar as frações da nossa soma com os denominadores iguais, como fazemos isso?
A única maneira de deixar as frações com os denominadores iguais é achar frações equivalentes às da nossa adição que tenham os seus denominadores iguais, vou falar aqui de duas maneiras de fazer isso, a primeira maneira é a manual, ou seja, temos que achar as frações equivalentes uma a uma, esse método serve quando temos poucas frações envolvidas na adição ou na subtração, duas ou três no máximo, a segunda é o método do m.m.c. (Mínimo Múltiplo Comum), o qual ensinaremos logo após o primeiro.
Para reduzir as frações da nossa adição a um denominador comum, devemos achar as frações equivalentes às frações da adição do nosso exemplo .
Para achar uma fração equivalente a devemos multiplicá-la ou dividi-la por um número inteiro qualquer maior que 1, ou melhor dizendo, devemos multiplicar ou dividir simultaneamente o seu numerador e o seu denominador por um número inteiro qualquer maior que 1, para , vamos multiplicar simultaneamente seu denominador e seu numerador por 2 para assim achar uma fração equivalente a ela.
, ou seja, é equivalente a .
Agora temos que achar uma fração equivalente a que tenha o denominador igual a 6, podemos multiplicar simultaneamente o numerador e o denominador de por 3 para acharmos uma fração equivalente a que tenha denominador igual a 6.
, ou seja, é equivalente a .
Podemos agora montar a nossa adição de frações com as frações equivalentes de denominadores iguais.
, essas adições são equivalentes, o simbolo quer dizer equivalente.
Agora podemos efetuar a soma das frações, pois elas agora têm os denominadores iguais, para somar essas frações, somamos os seus numeradores e repetimos o denominador.
Respondendo a pergunta inicial, a dona de casa terá que usar um total de de um pote de margarina para preparar o seu bolo.
Para somar frações que têm os denominadores diferentes, a primeira coisa a fazer é igualar esses denominadores, (reduzir as frações a um mesmo denominador), feito isso, basta somar os numeradores das frações e repetir o denominador.
Para subtrair frações de denominadores diferentes o procedimento é o mesmo, vejamos…
Seja a subtração de frações .
Podemos ver que as frações têm denominadores diferentes, para efetuar a subtração, devemos achar frações equivalentes a elas que tenham o mesmo denominador, ou seja, devemos reduzir as frações a um denominador comum.
Para achar uma fração equivalente a primeira fração basta multiplicar simultaneamente seu numerador e seu denominador por 3.
, ou seja, é equivalente a .
Devemos achar uma fração equivalente a que tenha um denominador igual a 24, para isso, multiplicamos simultaneamente o numerador e o denominador de por 8.
, ou seja, é equivalente a .
Agora basta montar a subtração com as frações equivalentes que têm o mesmo denominador.
, essas subtrações são equivalentes, o simbolo quer dizer equivalente.
Agora podemos efetuar a operação já que as frações têm os denominadores iguais, para efetuar essa subtração basta subtrair os numeradores e repetir o denominador.
.
Para subtrair frações de denominadores diferentes, primeiro reduzimos as frações a um denominador comum e quando as frações estiverem com o mesmo denominador, subtraímos os numeradores e repetimos o denominador.
Achar frações equivalentes dessa forma é viável quando temos poucas frações envolvidas na adição ou na subtração, quando temos muitas frações envolvidas na operações fica difícil achar frações equivalentes uma a uma.
Quando temos por exemplo uma adição de frações como esta.
Podemos ver que todas as frações têm denominadores diferentes, sabemos que para realizar essa adição temos que reduzir todas as frações a um mesmo denominador achando frações equivalentes a cada uma delas que tenham os denominadores iguais, fazer isso uma a uma daria muito trabalho e talvez não conseguíssemos, então qual a saída?
Um fato que vai nos auxiliar na tarefa de reduzir todas as frações a um denominador comum, é saber que o denominador comum a duas ou mais frações pode ser dado pelo menor múltiplo comum a todos os denominadores, ou seja, o m.m.c. (Mínimo Múltiplo Comum) a todos os denominadores das frações envolvidas na adição ou na subtração. Para achar esse m.m.c. decompomos todos os denominadores simultaneamente em fatores primos, esse m.m.c. será o nosso denominador comum.
Achando o m.m.c. dos denominadores 4, 6, 3, e 8.


4, 6, 3, 8  2 - Começamos dividindo por dois, quem não for divisível por dois é
2, 3, 3, 4  2 - repetido e quem obtiver quociente igual a um, não divide mais.
1, 3, 3, 2  2
1, 3, 3, 1  3 - Agora dividimos por três seguindo as regras anteriores
1, 1, 1, 1   24 
Quando tivermos uma linha de números “1” acabou a multiplicação.
Agora multiplicamos  os fatores em vermelho (2, 2, 2, 3) para achar o m.m.c. que será o nosso denominador comum que é 24.
 O nosso denominador comum é 24, para acharmos frações equivalentes de denominador igual a 24 temos que fazer o seguinte, dividimos 24 por cada denominador das frações, o quociente que acharmos multiplicamos por cada numerador da fração correspondente, para a fração fazemos.
que é o denominador de , o quociente dessa divisão é 6, agora multiplicamos esse quociente pelo numerador de que é 1 assim dessa forma achamos uma fração equivalente a que tem o denominador igual a 24, essa fração é , fazemos isso para cada uma das frações.
Para fazemos e achamos .
Para fazemos e achamos .
Para fazemos e achamos .
Para fazemos e achamos .
Veja que reduzindo as frações a um denominador comum pelo m.m.c. achamos frações equivalentes às que tínhamos com o mesmo denominador de uma forma fácil.
Podemos agora montar a nossa adição com as frações equivalentes e realizar a soma já que elas têm os denominadores iguais.
, essa fração não pode ser simplificada pois não temos um número inteiro que possamos dividir por 41 e por 24 simultaneamente.
Para a subtração o procedimento é o mesmo, vejamos o exemplo:
1º – Reduzimos as frações a um denominador comum.

2, 4, 9, 18  2 - Começamos dividindo por dois, quem não for divisível por dois é
1, 2, 9, 9   2 - repetido e quem obtiver quociente igual a um, não divide mais.
1, 1, 9, 9   3
1, 1, 3, 3   3 - Agora dividimos por três seguindo as regras anteriores
1, 1, 1, 1    36 
 - Quando tivermos uma linha de números “1” acabou a multiplicação. 
Agora multiplicamos  os fatores em vermelho (2, 2, 3, 3) para achar o m.m.c. que será o nosso denominador comum que é 36.
2º – Dividimos o denominador comum 36 pelo denominador de cada fração e multiplicamos o quociente pelo numerador da respectiva fração achando as frações equivalentes de denominador comum.
Para fazemos e achamos .
Para fazemos e achamos .
Para fazemos e achamos .
Para fazemos e achamos .
3º – Montamos a subtração com as frações equivalentes e efetuamos a operação porque elas já estão com os denominadores iguais, subtraindo os numeradores e repetindo o denominador.
Que podemos simplificar dividindo numerador e denominador simultaneamente por 2.
Então podemos dizer que a diferença da subtração de frações que realizamos é .
Se quiser ver essa aula em vídeo basta seguir o link abaixo.
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