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OPERAÇÕES COM FRAÇÕES – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Frações com denominadores diferentes
Dando continuidade as nossas aulas sobre operações com frações,
vamos falar sobre adição de frações com denominadores diferentes,
para isso vamos imaginar a seguinte situação.
Digamos que uma dona de casa resolva fazer um bolo, ela utiliza para
isso uma receita de bolo que diz que ela deve utilizar
de
um pote de margarina para preparar a massa do bolo e
desse
mesmo pote de margarina para preparar a cobertura do bolo. Qual a
quantidade total de margarina necessária para a dona de casa fazer o
bolo?
de
um pote de margarina para preparar a massa do bolo e
desse
mesmo pote de margarina para preparar a cobertura do bolo. Qual a
quantidade total de margarina necessária para a dona de casa fazer o
bolo?
A quantidade total de margarina necessária para a dona de casa
preparar o bolo será a soma das frações que representam as partes
de margarina que será usada na massa mais a margarina que será
usada na cobertura, montamos a soma das frações…
,
essas frações representam partes de tamanhos diferentes, pois seus
denominadores são diferentes,
representa
uma parte de um inteiro que foi dividido em três partes iguais,
representa
uma parte de um inteiro que foi dividido apenas em duas partes,
portanto as duas frações representam partes de tamanhos diferentes
conforme mostra a figura abaixo.
-
-
Por esse motivo não podemos expressar o resultado da soma em nenhum
desses denominadores.
Então a pergunta é, como somar frações que têm os denominadores
diferentes?
Aprendemos anteriormente a somar frações que tinham todos os
denominadores iguais, mas o que fazer para somar frações com
denominadores diferentes? Devemos deixar as frações com todos os
denominadores iguais!
A única maneira de somar ou subtrair frações é quando elas têm
todos os denominadores iguais, por isso temos que deixar as frações
da nossa soma com os denominadores iguais, como fazemos isso?
A única maneira de deixar as frações com os denominadores iguais é
achar frações equivalentes às da nossa adição que tenham os seus
denominadores iguais, vou falar aqui de duas maneiras de fazer isso,
a primeira maneira é a manual, ou seja, temos que achar as frações
equivalentes uma a uma, esse método serve quando temos poucas
frações envolvidas na adição ou na subtração, duas ou três no
máximo, a segunda é o método do m.m.c. (Mínimo Múltiplo Comum),
o qual ensinaremos logo após o primeiro.
Para reduzir as frações da nossa adição a um denominador comum,
devemos achar as frações equivalentes às frações da adição do
nosso exemplo
.
.
Para achar uma fração equivalente a
devemos
multiplicá-la ou dividi-la por um número inteiro qualquer maior que
1, ou melhor dizendo, devemos multiplicar ou dividir simultaneamente
o seu numerador e o seu denominador por um número inteiro qualquer
maior que 1, para
,
vamos multiplicar simultaneamente seu denominador e seu numerador por
2 para assim achar uma fração equivalente a ela.
devemos
multiplicá-la ou dividi-la por um número inteiro qualquer maior que
1, ou melhor dizendo, devemos multiplicar ou dividir simultaneamente
o seu numerador e o seu denominador por um número inteiro qualquer
maior que 1, para
,
vamos multiplicar simultaneamente seu denominador e seu numerador por
2 para assim achar uma fração equivalente a ela.
,
ou seja,
é equivalente a
.
Agora temos que achar uma fração equivalente a
que tenha o denominador igual a 6, podemos multiplicar
simultaneamente o numerador e o denominador de
por 3 para acharmos uma fração equivalente a
que tenha denominador igual a 6.
que tenha o denominador igual a 6, podemos multiplicar
simultaneamente o numerador e o denominador de
por 3 para acharmos uma fração equivalente a
que tenha denominador igual a 6.
,
ou seja,
é equivalente a
.
Podemos agora montar a nossa adição de frações com as frações
equivalentes de denominadores iguais.
,
essas adições são equivalentes, o simbolo
quer
dizer equivalente.
Agora podemos efetuar a soma das frações, pois elas agora têm os
denominadores iguais, para somar essas frações, somamos os seus
numeradores e repetimos o denominador.
Respondendo a pergunta inicial, a dona de casa terá que usar um
total de
de um pote de margarina para preparar o seu bolo.
de um pote de margarina para preparar o seu bolo.
Para
somar frações que têm os denominadores diferentes, a primeira
coisa a fazer é igualar esses denominadores, (reduzir as frações a
um mesmo denominador), feito isso, basta somar os numeradores das
frações e repetir o denominador.
Para subtrair frações de denominadores diferentes o procedimento é
o mesmo, vejamos…
Seja a subtração de frações
.
.
Podemos ver que as frações têm denominadores diferentes, para
efetuar a subtração, devemos achar frações equivalentes a elas
que tenham o mesmo denominador, ou seja, devemos reduzir as frações
a um denominador comum.
Para achar uma fração equivalente a primeira fração basta
multiplicar simultaneamente seu numerador e seu denominador por 3.
,
ou seja,
é
equivalente a
.
Devemos achar uma fração equivalente a
que
tenha um denominador igual a 24, para isso, multiplicamos
simultaneamente o numerador e o denominador de
por
8.
que
tenha um denominador igual a 24, para isso, multiplicamos
simultaneamente o numerador e o denominador de
por
8.
,
ou seja,
é
equivalente a
.
Agora basta montar a subtração com as frações equivalentes que
têm o mesmo denominador.
,
essas subtrações são equivalentes, o simbolo
quer
dizer equivalente.
Agora podemos efetuar a operação já que as frações têm os
denominadores iguais, para efetuar essa subtração basta subtrair os
numeradores e repetir o denominador.
.
Para
subtrair frações de denominadores diferentes, primeiro reduzimos as
frações a um denominador comum e quando as frações estiverem com
o mesmo denominador, subtraímos os numeradores e repetimos o
denominador.
Achar frações equivalentes dessa forma é viável quando temos
poucas frações envolvidas na adição ou na subtração, quando
temos muitas frações envolvidas na operações fica difícil achar
frações equivalentes uma a uma.
Quando temos por exemplo uma adição de frações como esta.
Podemos ver que todas as frações têm denominadores diferentes,
sabemos que para realizar essa adição temos que reduzir todas as
frações a um mesmo denominador achando frações equivalentes a
cada uma delas que tenham os denominadores iguais, fazer isso uma a
uma daria muito trabalho e talvez não conseguíssemos, então qual a
saída?
Um fato que vai nos auxiliar na tarefa de reduzir todas as frações
a um denominador comum, é saber que o denominador comum a duas ou
mais frações pode ser dado pelo menor múltiplo comum a todos os
denominadores, ou seja, o m.m.c. (Mínimo Múltiplo Comum) a todos os
denominadores das frações envolvidas na adição ou na subtração.
Para achar esse m.m.c. decompomos todos os denominadores
simultaneamente em fatores primos, esse m.m.c. será o nosso
denominador comum.
Achando o m.m.c. dos denominadores 4, 6, 3, e 8.
4,
6, 3, 8 2 - Começamos dividindo por dois, quem não
for divisível por dois é
2,
3, 3, 4 2 - repetido e quem
obtiver
quociente igual a um, não divide mais.
1,
3, 3, 2 2
1,
3, 3, 1 3 - Agora
dividimos por três seguindo as regras anteriores
1, 1, 1, 1 24
- Quando
tivermos uma linha de números “1” acabou a multiplicação.
Agora multiplicamos os fatores em vermelho (2, 2, 2, 3) para achar o m.m.c. que será o nosso denominador comum que é 24.O nosso denominador comum é 24, para acharmos frações equivalentes de denominador igual a 24 temos que fazer o seguinte, dividimos 24 por cada denominador das frações, o quociente que acharmos multiplicamos por cada numerador da fração correspondente, para a fração
fazemos.
que
é o denominador de
,
o quociente dessa divisão é 6, agora multiplicamos esse quociente
pelo numerador de
que é 1 assim
dessa
forma achamos uma fração equivalente a
que
tem o denominador igual a 24, essa fração é
,
fazemos isso para cada uma das frações.
Para
fazemos
e
achamos
.
fazemos
e
achamos
.
Para
fazemos
e
achamos
.
fazemos
e
achamos
.
Para
fazemos
e
achamos
.
fazemos
e
achamos
.
Para
fazemos
e
achamos
.
fazemos
e
achamos
.
Veja que reduzindo as frações a um denominador comum pelo m.m.c.
achamos frações equivalentes às que tínhamos com o mesmo
denominador de uma forma fácil.
Podemos agora montar a nossa adição com as frações equivalentes e
realizar a soma já que elas têm os denominadores iguais.
,
essa fração não pode ser simplificada pois não temos um número
inteiro que possamos dividir por 41 e por 24 simultaneamente.
Para a subtração o procedimento é o mesmo, vejamos o exemplo:
1º – Reduzimos as frações a um denominador comum.
2, 4, 9, 18 2 - Começamos dividindo por dois, quem não for divisível por dois é
1,
2, 9, 9 2 - repetido e quem
obtiver
quociente igual a um, não divide mais.
1,
1, 9, 9 3
1,
1, 3, 3 3 - Agora
dividimos por três seguindo as regras anteriores
1,
1, 1, 1 36
- Quando
tivermos uma linha de números “1” acabou a multiplicação.
Agora multiplicamos os fatores em vermelho (2, 2, 3, 3) para achar o m.m.c. que será o nosso denominador comum que é 36.
2º – Dividimos o denominador comum 36 pelo denominador de cada
fração e multiplicamos o quociente pelo numerador da respectiva
fração achando as frações equivalentes de denominador comum.
Para
fazemos
e
achamos
.
fazemos
e
achamos
.
Para
fazemos
e
achamos
.
fazemos
e
achamos
.
Para
fazemos
e
achamos
.
fazemos
e
achamos
.
Para
fazemos
e
achamos
.
fazemos
e
achamos
.
3º – Montamos a subtração com as frações equivalentes e
efetuamos a operação porque elas já estão com os denominadores
iguais, subtraindo os numeradores e repetindo o denominador.
Que podemos simplificar dividindo numerador e denominador
simultaneamente por 2.
Então podemos dizer que a diferença da subtração de frações que
realizamos é
.
.
Se quiser ver essa aula em vídeo basta seguir o link abaixo.
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muito bom
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