sexta-feira, 16 de setembro de 2016

Potencial elétrico devido a um sistema de cargas puntiformes




Potencial devido a um sistema de cargas puntiformes



Para calcularmos o potencial criado no espaço devido a uma distribuição de cargas puntiformes, primeiro devemos aprender como calcular o potencial em um ponto p a uma distância r de uma única carga pontual.
Figura 1: Uma carga de prova é trazida do infinito ao ponto p

Quando uma carga q se movimenta no mesmo sentido do campo seu potencial diminui, portanto na figura 1 o potencial gerado pela carga q no infinito é zero, V = 0

O trabalho realizado por uma força conservativa para deslocar um corpo de um ponto a para um ponto b é numericamente igual ao negativo da variação da energia potencial.


Mas o trabalho é dado pela expressão…

Com isso podemos dizer que a variação de energia potencial será…


A força eletrostática responsável por esse deslocamento é dada por

Substituindo na equação teremos…

Definimos anteriormente que a variação da energia potencial por unidade de carga é igual a diferença de potencial, para a nossa carga de prova temos

, mas , então


O campo a que a nossa carga de prova está sujeita é produzido pela carga positiva que está fixa em um ponto do espaço substituindo a equação do campo na equação da diferença de potencial teremos.



se dermos um “zoom” no ponto em que a nossa carga de prova se encontra, podemos observar que...

Figura 2: Zoom no ponto em que se encontra a carga de prova

é a projeção de sobre , podemos notar ainda que

, podemos ver ainda que

mas , então , podemos dizer então que

Como aponta para baixo na direção da carga , ,
substituindo na equação

,

cancelando os sinais
Estamos falando de trazer uma carga do infinito para o ponto
quando isso acontece temos e sabemos que
Agora nossa expressão para o potencial fica da seguinte forma


O potencial no infinito é zero e no ponto P podemos dizer que rp = r, substituindo na nossa equação temos…


(Potencial de Coulomb)

Esse potencial é denominado potencial de Coulomb, ele é negativo ou positivo, dependendo do sinal da carga que gera o campo elétrico.

Podemos calcular o potencial produzido em um certo ponto por um grupo de cargas pontuais, recorrendo ao princípio da superposição, ou seja.


Podemos escrever esse potencial como um somatório


(Potencial produzido por um sistema de cargas puntiformes)
Como o potencial depende do sinal da carga que gera o campo, calculamos separadamente o potencial de cada carga individualmente e depois somamos tudo, obtendo assim o potencial total produzido em um ponto por um conjunto de cargas puntiformes.

Para uma distribuição contínua de cargas , pegamos um elemento infinitesimal de carga , e usando a expressão para o calculo do potencial devido a um sistema de cargas, fazemos.


Como é uma distribuição continua de cargas, não podemos usar o somatório, em vez disso usamos a integral, integrando dos dois lados temos.

, Generalizando temos


Para ver essa aula em vídeo acesse os links abaixo
Primeira parte: https://youtu.be/PW1kvcbBB5g
Segunda parte: https://youtu.be/Et2nBDtBYoE

Nenhum comentário:

Postar um comentário

Deixe seu comentário, diga se gostou, se lhe foi útil ou em que posso melhorar.