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4shared: http://www.4shared.com/office/HGWIswAmba/Fraes_equivalentes_e_comparao.html
Para ver a primeira parte da aula no youtube clik no link abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=k41wvOB0WfQ&feature=youtu.be
para ver a segunda parte siga o link abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=bVduzppxhqg&feature=youtu.be
para ver a terceira parte dê um clik no link abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=j9Tv9ML4TEw&feature=youtu.be
Para ver a primeira parte da aula no youtube clik no link abaixo:
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Temos uma infinidade de frações
que representam diferentes partes do inteiro e também representam
diferentes quantidades.
Exemplos:
,
,
Essas frações representam
partes diferentes de um inteiro que foi dividido em seis partes
iguais, mas essas frações também representam quantidades
diferentes. Suponhamos que temos uma dúzia de laranjas, uma
dúzia é composta por 12 laranjas, então o nosso inteiro é.
,
e
desse inteiro é
,
então podemos dizer que
de uma dúzia de
laranjas é 2 laranjas, que
representa a quantidade 2, mas se o inteiro fosse outra quantidade? A
fração um sexto continuaria representando a quantidade 2? Vejamos o
exemplo.
Suponhamos que o nosso inteiro
agora seja 1 hora, 1 hora é composta por 60
minutos, então o nosso inteiro é:
e
desse
inteiro é
,
podemos dizer então que
de uma
hora é 10 minutos, que
representa a quantidade 10. Podemos notar então que mudando a
quantidade inteiro, mudamos também a quantidade que é
representada por um sexto.
de 12 é
diferente de
de 60, mas representam a mesma quantidade de partes de um inteiro
que foi dividido em 6 partes.
Mas existem frações que mesmo
diferentes representam a mesma quantidade, a essas frações damos o
nome de frações equivalentes, observe as seguintes frações.
Essas frações representam a
mesma quantidade de partes de um inteiro, observe:
=
=
=
Podemos observar que o tamanho da
parte pintada é o mesmo para todas as frações, ou seja, apesar de
cada quadro representar diferentes partes de um inteiro, essas
frações representam uma mesma quantidade.
Pois se dividirmos as frações
acima encontraremos sempre o valor 0,5
Mais alguns exemplos de frações
equivalentes.
=
=
=
Agora que já sabemos que existem
frações equivalentes, vamos aprender como obter uma fração
equivalente, observe.
=
=
=
São todas frações equivalentes
que representam uma mesma quantidade, veja.
,
,
,
,
todas representam a quantidade 0,5, mas como obter essas frações?
O que fizemos foi.
Partindo da fração
=
,
multiplicamos o numerador e o denominador pelo mesmo número natural
maior que 1 e diferente de zero e obtivemos.
X2
=
=
,
então
=
e dizemos que
é equivalente a
,
se continuarmos dividindo
numerador e denominador
simultaneamente por outros números obteremos outras frações
equivalentes a
.
X2
=
,
X3 =
,
X10
=
,
que
são todas equivalentes a
.
Dada
uma fração qualquer, podemos achar uma infinidade de frações
equivalentes a ela apenas multiplicando ou dividindo simultaneamente
seu numerador e denominador por números naturais maiores que 1 e
diferentes de zero.
As
vezes precisamos saber qual fração representa uma quantidade maior
entre duas frações dadas, ou seja, precisamos comparar as frações,
esse processo chama-se comparação
de frações.
Comparando
frações de numeradores iguais.
Qual
é maior?
Ou
?
Para
melhor compreender o que estamos dizendo vamos observar as divisões
abaixo.
=
=
Nos
dois casos temos uma parte de um inteiro que foi dividido em um
determinado número de partes iguais, no primeiro caso, o inteiro foi
dividido em quatro partes iguais
das quais tomamos uma
parte, no segundo caso o inteiro foi dividido em cinco partes iguais
das quais tomamos uma parte, ora,
se dividimos um objeto em quatro partes e um outro em cinco, as
partes do objeto que foi dividido em quatro partes são maiores que
as partes do objeto que foi dividido em cinco partes.
Como
podemos observar na figura acima a parte que representa
é maior que a parte que representa
e podemos dizer que:
>
(Lê-se: um quarto é maior que um quinto.)
Quando
temos frações com numeradores iguais, a fração que tiver o
denominador menor será maior que a fração com denominador maior,
no exemplo acima o denominador da fração maior é menor que o
denominador da fração maior, ou seja 4 < 5 e portanto
>
,
se comparássemos
5
> 4, teríamos
<
.
Mais
alguns exemplos. Compare as frações:
Quem
é maior?
ou
,
ou
,
ou
,
ou
.
Como
foi dito antes, para saber qual fração é maior quando elas têm os
numeradores iguais, basta observar qual delas tem o denominador
menor, aquela que tiver o denominador menor será a fração maior.
O
denominador 4 é menor que o denominador 5, portanto…
>
O denominador 7 é menor que o
denominador 9, portanto...
>
O
denominador 10 é maior
que o denominador 8, portanto…
>
O
denominador 35 é maior que o denominador 12, portanto…
>
Quando
as frações têm os denominadores iguais, a comparação se torna
mais simples pois o inteiro foi dividido em parte iguais em todas as
frações que queremos comparar, nesse caso, para sabermos qual a
fração maior, basta observar aquela que tem o numerador maior, essa
fração será maior que a outra com numerador menor.
Sejam
as frações:
e
,
quem é maior?
Nas
duas frações o inteiro foi dividido em 8 partes iguais, como foi
dito antes, para sabermos qual a fração maior basta observar em
qual delas o numerador é maior, nesse caso o numerador maior é 7,
portanto a fração que representa uma quantidade maior é
e
podemos dizer que
é maior que
,
ou em linguagem matemática…
>
,
a fração
representa 7 das 8 partes que foi dividido o inteiro.
Mais
alguns exemplos: Diga quem é menor.
ou
,
ou
,
ou
.
Como
sabemos, basta observar qual numerador é maior para sabermos qual a
fração maior, no caso em que elas têm os denominadores iguais,
nesse exemplo queremos saber qual as frações menores.
O
numerador 2 é menor que o numerador 5, portanto...
<
O
numerador 3 é menor que o numerador 9, portanto...
<
O
numerador 4 é menor que o numerador 8, portanto...
<
E
quando nem numerador e nem denominador é igual, o que fazer?
Se
tivermos as frações
e
,
qual é maior ou, qual é menor?
Os
denominadores e numeradores são diferentes, sabemos que a melhor
forma de se comparar frações é quando elas têm os denominadores
iguais, sabemos também que podemos achar frações equivalentes as
dadas cujos denominadores sejam iguais, para isso basta multiplicar
ou dividir simultaneamente denominadores e numeradores pelo mesmo
número diferente de zero e maior que um.
Peguemos
e multipliquemos em cima e em baixo por 3,
,
agora
peguemos
e multipliquemos em cima e em baixo por 2,
,
Achamos
duas frações equivalentes às antigas e com denominadores iguais,
agora basta usarmos os conhecimentos que já temos para compará-las,
ou seja, basta
observarmos qual dos numeradores é maior para sabermos qual a fração
maior.
Nas
frações equivalentes
e
,
podemos ver que o numerador 16 é maior que o
numerador
15 e portanto
é maior que
,
ou
>
,
como
é a
fração
equivalente a
e
é a fração equivalente a
,
podemos afirmar que
>
.
Para
comparar frações quando
seus denominadores e numeradores são diferentes, basta achar as
frações equivalentes a elas com denominadores iguais e compará-las.
Mais
um exemplo: Compare as frações.
b) e , multiplicamos em cima e em baixo por 5 e obtemos , agora
pegamos e multiplicamos em cima e em baixo por 6 e teremos a fração equivalente
Agora podemos comparar as frações que agora têm os denominadores iguais, o numerador 20 é maior que o numerador 12 e portanto a fração é maior que a fração
ou…
>
,
como
é a fração
equivalente a
e
é
equivalente a
,
podemos
afirmar que
>
.
Exercícios:
Ache
as frações equivalentes.
,
,
,
,
,
.
Simplifique
as frações.
,
,
,
,
,
,
.
Compare
as frações.
e
,
e
,
e
.
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