segunda-feira, 16 de novembro de 2015

FRAÇÕES EQUIVALENTES E COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES


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https://www.youtube.com/watch?v=k41wvOB0WfQ&feature=youtu.be 

para ver a segunda parte siga o link abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=bVduzppxhqg&feature=youtu.be 

para ver a terceira parte dê um clik no link abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=j9Tv9ML4TEw&feature=youtu.be

Temos uma infinidade de frações que representam diferentes partes do inteiro e também representam diferentes quantidades.

Exemplos:
, ,

Essas frações representam partes diferentes de um inteiro que foi dividido em seis partes iguais, mas essas frações também representam quantidades diferentes. Suponhamos que temos uma dúzia de laranjas, uma dúzia é composta por 12 laranjas, então o nosso inteiro é.

, e desse inteiro é , então podemos dizer que de uma dúzia de


laranjas é 2 laranjas, que representa a quantidade 2, mas se o inteiro fosse outra quantidade? A fração um sexto continuaria representando a quantidade 2? Vejamos o exemplo.

Suponhamos que o nosso inteiro agora seja 1 hora, 1 hora é composta por 60 minutos, então o nosso inteiro é:

e desse inteiro é , podemos dizer então que de uma

hora é 10 minutos, que representa a quantidade 10. Podemos notar então que mudando a quantidade inteiro, mudamos também a quantidade que é representada por um sexto.

de 12 é diferente de de 60, mas representam a mesma quantidade de partes de um inteiro que foi dividido em 6 partes.

Mas existem frações que mesmo diferentes representam a mesma quantidade, a essas frações damos o nome de frações equivalentes, observe as seguintes frações.


Essas frações representam a mesma quantidade de partes de um inteiro, observe:

=

=

=
Podemos observar que o tamanho da parte pintada é o mesmo para todas as frações, ou seja, apesar de cada quadro representar diferentes partes de um inteiro, essas frações representam uma mesma quantidade.

Pois se dividirmos as frações acima encontraremos sempre o valor 0,5


Mais alguns exemplos de frações equivalentes.


=

=

=

Agora que já sabemos que existem frações equivalentes, vamos aprender como obter uma fração equivalente, observe.

= = =

São todas frações equivalentes que representam uma mesma quantidade, veja.

, , , , todas representam a quantidade 0,5, mas como obter essas frações? O que fizemos foi.

Partindo da fração = , multiplicamos o numerador e o denominador pelo mesmo número natural maior que 1 e diferente de zero e obtivemos.

X2 = = , então

= e dizemos que é equivalente a , se continuarmos dividindo


numerador e denominador simultaneamente por outros números obteremos outras frações equivalentes a .

X2 = , X3 = , X10 = ,

que são todas equivalentes a .

Dada uma fração qualquer, podemos achar uma infinidade de frações equivalentes a ela apenas multiplicando ou dividindo simultaneamente seu numerador e denominador por números naturais maiores que 1 e diferentes de zero.

As vezes precisamos saber qual fração representa uma quantidade maior entre duas frações dadas, ou seja, precisamos comparar as frações, esse processo chama-se comparação de frações.

Comparando frações de numeradores iguais.

Qual é maior?
Ou ?

Para melhor compreender o que estamos dizendo vamos observar as divisões abaixo.

=

=

Nos dois casos temos uma parte de um inteiro que foi dividido em um determinado número de partes iguais, no primeiro caso, o inteiro foi dividido em quatro partes iguais das quais tomamos uma parte, no segundo caso o inteiro foi dividido em cinco partes iguais das quais tomamos uma parte, ora, se dividimos um objeto em quatro partes e um outro em cinco, as partes do objeto que foi dividido em quatro partes são maiores que as partes do objeto que foi dividido em cinco partes.

Como podemos observar na figura acima a parte que representa é maior que a parte que representa e podemos dizer que:

> (Lê-se: um quarto é maior que um quinto.)

Quando temos frações com numeradores iguais, a fração que tiver o denominador menor será maior que a fração com denominador maior, no exemplo acima o denominador da fração maior é menor que o denominador da fração maior, ou seja 4 < 5 e portanto > , se comparássemos
5 > 4, teríamos < .


Mais alguns exemplos. Compare as frações:
Quem é maior?

ou , ou , ou , ou .

Como foi dito antes, para saber qual fração é maior quando elas têm os numeradores iguais, basta observar qual delas tem o denominador menor, aquela que tiver o denominador menor será a fração maior.

O denominador 4 é menor que o denominador 5, portanto… >

O denominador 7 é menor que o denominador 9, portanto... >

O denominador 10 é maior que o denominador 8, portanto… >

O denominador 35 é maior que o denominador 12, portanto… >

Quando as frações têm os denominadores iguais, a comparação se torna mais simples pois o inteiro foi dividido em parte iguais em todas as frações que queremos comparar, nesse caso, para sabermos qual a fração maior, basta observar aquela que tem o numerador maior, essa fração será maior que a outra com numerador menor.

Sejam as frações: e , quem é maior?
Nas duas frações o inteiro foi dividido em 8 partes iguais, como foi dito antes, para sabermos qual a fração maior basta observar em qual delas o numerador é maior, nesse caso o numerador maior é 7, portanto a fração que representa uma quantidade maior é e podemos dizer que é maior que , ou em linguagem matemática… > , a fração representa 7 das 8 partes que foi dividido o inteiro.

Mais alguns exemplos: Diga quem é menor.

ou , ou , ou .

Como sabemos, basta observar qual numerador é maior para sabermos qual a fração maior, no caso em que elas têm os denominadores iguais, nesse exemplo queremos saber qual as frações menores.

O numerador 2 é menor que o numerador 5, portanto... <

O numerador 3 é menor que o numerador 9, portanto... <

O numerador 4 é menor que o numerador 8, portanto... <
E quando nem numerador e nem denominador é igual, o que fazer?

Se tivermos as frações e , qual é maior ou, qual é menor?

Os denominadores e numeradores são diferentes, sabemos que a melhor forma de se comparar frações é quando elas têm os denominadores iguais, sabemos também que podemos achar frações equivalentes as dadas cujos denominadores sejam iguais, para isso basta multiplicar ou dividir simultaneamente denominadores e numeradores pelo mesmo número diferente de zero e maior que um.

Peguemos e multipliquemos em cima e em baixo por 3, ,

agora peguemos e multipliquemos em cima e em baixo por 2, ,

Achamos duas frações equivalentes às antigas e com denominadores iguais, agora basta usarmos os conhecimentos que já temos para compará-las, ou seja, basta observarmos qual dos numeradores é maior para sabermos qual a fração maior.

Nas frações equivalentes e , podemos ver que o numerador 16 é maior que o

numerador 15 e portanto é maior que , ou > , como é a

fração equivalente a e é a fração equivalente a , podemos afirmar que
> .

Para comparar frações quando seus denominadores e numeradores são diferentes, basta achar as frações equivalentes a elas com denominadores iguais e compará-las.


Mais um exemplo: Compare as frações.

a) e , se multiplicarmos em cima e em baixo por 2, já achamos uma fração equivalente com numerador igual ao da outra fração, , ora achamos uma fração equivalente igual a outra fração, isso quer dizer que as frações e são equivalentes, ou seja, elas são iguais e podemos dizer que = .



b) e , multiplicamos em cima e em baixo por 5 e obtemos , agora
pegamos e multiplicamos em cima e em baixo por 6 e teremos a fração equivalente
Agora podemos comparar as frações que agora têm os denominadores iguais, o numerador 20 é maior que o numerador 12 e portanto a fração é maior que a fração
ou… > , como é a fração equivalente a e é equivalente a ,

podemos afirmar que > .

Exercícios:

Ache as frações equivalentes.

, , , , , .

Simplifique as frações.

, , , , , , .





Compare as frações.

e , e , e


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