segunda-feira, 23 de novembro de 2015

CÁLCULO DA INTEGRAL DO SENO AO QUADRADO



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Nessa resolução eu vou considerar que você já saiba a parte teórica sobre derivadas e integrais, por isso vou me concentrar no método de integração dessas funções.

Vamos começar pela função seno²(x), ou seja, vamos calcular a integral do seno ao quadrado de x.

Seja a integral.

Sabemos que seno ao quadrado pode ser escrito como:


Substituindo na nossa integral, temos agora uma integral na forma.


Onde a derivada da função agora obedece a regra do produto, sabemos que quando temos uma integral cuja derivada da função que estamos integrando obedece a regra do produto, devemos usar a integração por partes para o cálculo dessa integral.

A fórmula para o cálculo de uma integral por partes é.


Na nossa função devemos fazer o seguinte: Vamos dizer que.

e

Sendo assim temos:



Substituindo essas equações na nossa integral ficamos com:


Cancelamos dois sinais e a nossa integral fica:



Usando a identidade


Substituindo na nossa integral temos:


A integral das diferença será a diferença das integrais, portanto...


Sabemos que:


Pois se trata de uma integral indefinida, substituindo na nossa integral, temos...


Observe que se continuarmos integrando, nunca chegaremos a um resultado, pois teremos sempre uma integral do seno ao quadrado que é a integral que estamos calculando, usaremos um pequeno truque para chegarmos ao resultado que queremos, passamos a integral para o outro lado com o sinal invertido, é como se somássemos a integral do seno ao quadrado dos dois lados da equação, assim ficamos com…



Sabemos que a soma do seno de dois ângulos é:

,

no nosso caso (a + b) são iguais a (x + x), sendo assim teremos.


substituindo isso na nossa equação temos.


Como nós queremos só a integral do seno ao quadrado, passamos o 2 para o outro lado dividindo.


Temos que , ,

pois uma constante dividida por outra constante continua sendo uma constante, substituindo esses resultados na nossa equação terremos o resultado final.


Que é o resultado final da nossa integral.


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4 comentários:

  1. Muito obrigada por disponibilizar essa resolução detalhadíssima...
    Ajudou muito! <3

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    Respostas
    1. Obrigado amigo(a), isso me incentiva a continuar

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  2. genial!!

    parabéns, ajudou muito.

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