sábado, 23 de maio de 2015

BOLDRINI – EXERCÍCIO 2 – SECÇÃO 5.6

Você pode ver essas resoluções em vídeo clicando nos links abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=IfFEJ3Tsm_I&feature=youtu.be
Letra a
https://www.youtube.com/watch?v=2znywGzuO9Q&feature=youtu.be
Letra b


Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares.


a) f : ℝ² ℝ² ; (x , y) ↦ (x + y , x – y)
Sol.
a)
Para verificar quais dessas funções são transformações lineares devemos usar a definição de transformação linear e verificar se elas satisfazem as duas condições.

Definição:
Sejam V e W dois espaços vetoriais, uma transformação linear é uma função de V em W, (F: V → W), que satisfaz as seguintes condições:

i) Quaisquer que sejam u, v V,
F (u + v) = F(u) + F (v)

ii) Quaisquer que sejam k e v V,
F (kv) = kF(v)”.


Verificando a primeira condição para

 f : ℝ² ℝ² ; (x , y) ↦ (x + y , x – y)

Sejam:  u = (x1 , y1)  e  v = (x2 ,  y2)   ∈ ℝ²
                               
u + v = (x1 , y1) + (x2 ,  y2)
           = (x1 + x2  , y1 +  y2)

  f (u) = f (x1 , y1) = (x1 + y1 , x1 - y1)
 f (v) = f (x2 , y2) = (x2 + y2 , x2 – y2)

f ( u + v) =  f (x1 + x2  , y1 +  y2)  = [(x1 + x2) + (y1 +  y2) , (x1 + x2- (y1 + y2)]                                                                
                                                        = (x1 + x2 + y1 +  y2 , x1 + x2  - y1 -  y2)
                                                                = (x1 + y1 + x2 +  y2 , x1 – y1 + x2 -  y2)
                                                        = [(x1 + y1) +( x2 +  y2) ,( x1 – y1) +( x2 -  y2)]
                                                        = (x1 + y1 , x1 - y1) + (x2 + y2 , x2 – y2)
                                          f (u +v ) = f (u) + f (v)

A primeira condição foi satisfeita f (u +v ) = f (u) + f (v)



Verificando a segunda condição…

Sejam k ℝ e u = (x1 , y1) ℝ²
k(x1 , y1) = (kx1 , ky1)

f (ku) = f (kx1 , ky1) = (kx1 +k y1 , kx1 - ky1)
                                 = k(x1 + y1 , x1 - y1)
                                      =k f (kx1 , ky1)
                          f (ku) = k f (u)
A segunda condição também foi satisfeita, então podemos afirmar que a função dada 
f : ℝ² ℝ² ; (x , y) ↦ (x + y , x – y) é uma aplicação linear (transformação linear)


b) g : ℝ² ℝ  ; (x , y) ↦ xy
Utilizando um procedimento análogo, vamos pegar dois vetores do domínio e verificar se as condições (i) e (ii) são satisfeitas.
Sejam:  u = (x1 , y1)     e           v = (x2 ,  y2)   ∈ ℝ²    
u + v = (x1 , y1) + (x2 ,  y2) = (x1 + x2  , y1 +  y2)

g (u) = g (x1 , y1) = x1y1
g (v) = g (x2 , y2) = x2y2
g (u+v) = g (x1 + x2  , y1 +  y2) = (x1 + x2)(y1 + y2)                     
                                                     = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2

g (u+v) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 ≠  x1y1 + x2y2

g (u + v) ≠ g (u) + g (v), a condição (i) não foi satisfeita, isso é o suficiente para afirmarmos que g : ℝ² ℝ  ; (x , y) ↦ xy não é uma transformação linear

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