BOLDRINI – EXERCÍCIO 2 – SECÇÃO 5.6

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Você pode ver essas resoluções em vídeo clicando nos links abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=IfFEJ3Tsm_I&feature=youtu.be
Letra a
https://www.youtube.com/watch?v=2znywGzuO9Q&feature=youtu.be
Letra b

Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares.

a) f : ℝ² → ℝ² ; (x , y) ↦ (x + y , x – y)

Sol.

a)

Para verificar quais dessas funções são transformações lineares devemos usar a definição de transformação linear e verificar se elas satisfazem as duas condições.

Definição:

Sejam V e W dois espaços vetoriais, uma transformação linear é uma função de V em W, (F: V → W), que satisfaz as seguintes condições:

i) Quaisquer que sejam u, v ∈ V,

F (u + v) = F(u) + F (v)

ii) Quaisquer que sejam k ∈ ℝ e v ∈ V,

F (kv) = kF(v)”.

Verificando a primeira condição para

 f : ℝ² → ℝ² ; (x , y) ↦ (x + y , x – y)

Sejam:  u = (x₁ , y₁)  e  v = (x₂ ,  y₂)   ∈ ℝ²

                               

u + v = (x₁ , y₁) + (x₂ ,  y₂)

           = (x₁ + x₂  , y₁ +  y₂)

  f (u) = f (x₁ , y₁) = (x₁ + y₁ , x₁ - y₁)

 f (v) = f (x₂ , y₂) = (x₂ + y₂ , x₂ – y₂)

f ( u + v) =  f (x₁ + x₂  , y₁ +  y₂)  = [(x₁ + x₂) + (y₁ +  y₂) , (x₁ + x₂) - (y₁ + y₂)]                                                                

                                                        = (x₁ + x₂ + y₁ +  y₂ , x₁ + x₂  - y₁ -  y₂)

                                                                = (x₁ + y₁ + x₂ +  y₂ , x₁ – y₁ + x₂ -  y₂)

                                                        = [(x₁ + y₁) +( x₂ +  y₂) ,( x₁ – y₁) +( x₂ -  y₂)]

                                                        = (x₁ + y₁ , x₁ - y₁) + (x₂ + y₂ , x₂ – y₂)

                                          f (u +v ) = f (u) + f (v)

A primeira condição foi satisfeita f (u +v ) = f (u) + f (v)

Verificando a segunda condição…

Sejam k ∈ ℝ e u = (x₁ , y₁) ∈ ℝ²

k(x₁ , y₁) = (kx₁ , ky₁)

f (ku) = f (kx₁ , ky₁) = (kx₁ +k y₁ , kx₁ - ky₁)

                                 = k(x₁ + y₁ , x₁ - y₁)

                                      =k f (kx₁ , ky₁)

                          f (ku) = k f (u)

A segunda condição também foi satisfeita, então podemos afirmar que a função dada 

f : ℝ² → ℝ² ; (x , y) ↦ (x + y , x – y) é uma aplicação linear (transformação linear)

b) g : ℝ² → ℝ  ; (x , y) ↦ xy

Utilizando um procedimento análogo, vamos pegar dois vetores do domínio e verificar se as condições (i) e (ii) são satisfeitas.

Sejam:  u = (x₁ , y₁)     e           v = (x₂ ,  y₂)   ∈ ℝ²    

u + v = (x₁ , y₁) + (x₂ ,  y₂) = (x₁ + x₂  , y₁ +  y₂)

g (u) = g (x₁ , y₁) = x₁y₁

g (v) = g (x₂ , y₂) = x₂y₂

g (u+v) = g (x₁ + x₂  , y₁ +  y₂) = (x₁ + x₂)(y₁ + y₂)                     

                                                     = x₁y₁ + x₁y₂ + x₂y_{1 +} x₂y₂

g (u+v) = x₁y₁ + x₁y₂ + x₂y_{1 +} x₂y_{2 ≠}  x₁y_{1 +} x₂y₂

g (u + v) ≠ g (u) + g (v), a condição (i) não foi satisfeita, isso é o suficiente para afirmarmos que g : ℝ² → ℝ  ; (x , y) ↦ xy não é uma transformação linear