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E para ver a vídeo aula no you tube:
Nessa resolução eu vou
considerar que você já saiba a parte teórica sobre derivadas e
integrais, por isso vou me concentrar no método de integração
dessas funções.
Vamos começar pela função
seno²(x), ou seja, vamos calcular a integral do seno ao quadrado de
x.
Seja a integral.
Sabemos que seno ao quadrado pode
ser escrito como:
Substituindo na nossa integral,
temos agora uma integral na forma.
Onde a derivada da função agora
obedece a regra do produto, sabemos que quando temos uma integral
cuja derivada da função que estamos integrando obedece a regra do
produto, devemos usar a integração por partes para o cálculo dessa
integral.
A fórmula para o cálculo de uma
integral por partes é.
Na nossa função devemos fazer o
seguinte: Vamos dizer que.
e
Sendo assim temos:
Substituindo essas equações na
nossa integral ficamos com:
Cancelamos dois sinais e a nossa
integral fica:
Usando a identidade
Substituindo na nossa integral
temos:
A integral das diferença será a
diferença das integrais, portanto...
Sabemos que:
Pois se trata de uma integral
indefinida, substituindo na nossa integral, temos...
Observe que se continuarmos
integrando, nunca chegaremos a um resultado, pois teremos sempre uma
integral do seno ao quadrado que é a integral que estamos
calculando, usaremos um pequeno truque para chegarmos ao resultado
que queremos, passamos a integral para o outro lado com o sinal
invertido, é como se somássemos a integral do seno ao quadrado dos
dois lados da equação, assim ficamos com…
Sabemos que a soma do seno de
dois ângulos é:
,
no nosso caso (a + b) são iguais
a (x + x), sendo assim teremos.
substituindo isso na nossa
equação temos.
Como nós queremos só a integral
do seno ao quadrado, passamos o 2 para o outro lado dividindo.
Temos que
,
,
pois uma constante dividida por
outra constante continua sendo uma constante, substituindo esses
resultados na nossa equação terremos o resultado final.
Que é o resultado final da nossa
integral.
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Muito obrigada por disponibilizar essa resolução detalhadíssima...
ResponderExcluirAjudou muito! <3
Obrigado amigo(a), isso me incentiva a continuar
ExcluirMuito obrigado, ajudou muitíssimo!
ResponderExcluirgenial!!
ResponderExcluirparabéns, ajudou muito.
Gostei muito mesmo! obrigada pela resolução detalhada e bem explicada! me ajudou muito. Parabéns!
ResponderExcluirEssa foi a pior solução para essa integral que eu ja ví. Quanta pirueta desnecessária... Mas, faz parte. Parabéns aí pela conta.
ResponderExcluirSaudações Matemáticas.
ResponderExcluirQueria agradecer em nome de todos os que utilizaram este blog para a conquista da tão esperada resposta do problema proposto.
Mt obrigado! :)
Comprimentos a si e aos matemáticos ;)<3 Ercilius e Loureirus