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https://www.youtube.com/watch?v=5nckNVeHl1s&feature=youtu.be
letra a
https://www.youtube.com/watch?v=p5qjfvfKUp8&feature=youtu.be
letra b
Aproveitem!
Seja T: V → W uma função. Mostre que:
a) Se T é uma transformação linear, então T(0) = 0.
b) Se T(0)
≠ 0, então T não é uma transformação
linear.
Sol.
Decorre da definição que uma
transformação linear T: V → W leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W, ou
seja, se 0 ∈
V, T(0) = 0 ∈ W.
Para mostrar que se T(0) = 0, T é uma transformação linear, devemos usar a definição de transf ormação linear que
diz, “Sejam V e W dois espaços vetoriais, uma transformação linear é uma função
de V em W, F: V → W, que satisfaz as seguintes condições:
i) Quaisquer que sejam u, v ∈
V,
F (u + v) = F(u) + F (v)
ii) Quaisquer que sejam k ∈
ℝ e v ∈ V,
F (kv) = kF(v)”.
Da definição de espaço vetorial,
sabemos que em cada espaço existe um vetor nulo que é o elemento neutro da
adição, que é uma das propriedades do espaço vetorial, essa propriedade diz que
existe v e –v (simétrico de v) que pertencem ao espaço V tal que a soma de v
com seu simétrico resulta no vetor nulo de V, matematicamente…
∃ -v e v ∈
V| v + (-v) = 0V
Verificando a primeira condição…
Sejam v ∈
V e –v ∈ V, temos que v + (-v) = 0, então a transformação
T (v + (-v)) = T (0) = 0 = T (v) + T (-v)
Primeira condição satisfeita
Verificando a segunda condição…
Sejam k ∈
ℝ | k = 0, v ∈
V, temos que, kv = 0v = 0, então a
transformação
T (kv) = T (0v) = T (0) = 0 = 0T(v) = kT(v)
Segunda condição satisfeita
Mostramos que
se T (0) = 0, T é uma transformação linear.
b) Para mostrar que se T (0) ≠ 0, T não é transformação linear temos que fazer o seguinte, pegamos
uma transformação linear qualquer e aplicamos o vetor nulo do espaço em questão
e verificamos se atende à condição.
Seja T: ℝ² →
ℝ³ ; T (x , y) = (x , y + b , x + y)
Pegamos
o vetor nulo do ℝ² e verificamos se T (0)
= 0.
0 ∈ ℝ² = ( 0 , 0)
T (0) = T (0 , 0) = (0 , 0+b , 0+0)
= T (0 , 0) = (0 , b , 0) ≠ ( 0 , 0 ,
0)
Portanto T não é uma
transformação linear pois T (0V)
≠ 0W
REFERÊNCIA
BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R.;
RIBEIRO, V. L. F. & WETZLER, H. G. Álgebra linear. 3ª ed – Harbra – São
Paulo - 1980
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