quinta-feira, 21 de maio de 2015

BOLDRINI – EXERCÍCIO 1 – SECÇÃO 5.6

Seja bem vindo (a)
Esta resolução está disponível em pdf, para baixá-la click nos links abaixo.
https://www.dropbox.com/s/7s8pqstb0pezvy5/Sec%C3%A7%C3%A3o%205.6%20exerc%C3%ADcio%201%20Boldrini.pdf?dl=0
ou 
http://www.4shared.com/office/rNxALOM1ba/Seco_56_exerccio_1_Boldrini.html
Para ver essa resolução em vídeo click nos links abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=5nckNVeHl1s&feature=youtu.be
letra a
https://www.youtube.com/watch?v=p5qjfvfKUp8&feature=youtu.be
letra b

Aproveitem!


Seja T: V → W uma função. Mostre que:
a) Se T é uma transformação linear, então T(0) = 0.
b) Se T(0) ≠ 0, então T não é uma transformação linear.

Sol.
Decorre da definição que uma transformação linear T: V → W leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W, ou seja, se 0 V, T(0) = 0 W.

Para mostrar que se T(0) = 0, T é uma transformação linear, devemos usar a definição de transfar a definiço linearormação linear que diz, “Sejam V e W dois espaços vetoriais, uma transformação linear é uma função de V em W, F: V → W, que satisfaz as seguintes condições:
i) Quaisquer que sejam u, v V,
F (u + v) = F(u) + F (v)

ii) Quaisquer que sejam k e v V,
F (kv) = kF(v)”.

Da definição de espaço vetorial, sabemos que em cada espaço existe um vetor nulo que é o elemento neutro da adição, que é uma das propriedades do espaço vetorial, essa propriedade diz que existe v e –v (simétrico de v) que pertencem ao espaço V tal que a soma de v com seu simétrico resulta no vetor nulo de V, matematicamente…
-v e v V| v + (-v) = 0V

Verificando a primeira condição…

Sejam v V e –v V, temos que v + (-v) = 0, então a transformação
T (v + (-v)) = T (0) = 0 = T (v) + T (-v)
Primeira condição satisfeita

Verificando a segunda condição…

Sejam k | k = 0, v V, temos que, kv = 0v = 0, então a transformação
T (kv) = T (0v) = T (0) = 0 = 0T(v) = kT(v)
Segunda condição satisfeita

Mostramos que se T (0) = 0, T é uma transformação linear.

b) Para mostrar que se T (0) ≠ 0, T não é transformação linear temos que fazer o seguinte, pegamos uma transformação linear qualquer e aplicamos o vetor nulo do espaço em questão e verificamos se atende à condição.


Seja T: ℝ² ℝ³ ; T (x , y) = (x , y + b , x + y)
Pegamos o vetor nulo do ℝ² e verificamos se T (0) = 0.

0 ∈ ℝ² = ( 0 , 0)
T (0) = T (0 , 0) = (0 , 0+b , 0+0)
         = T (0 , 0) = (0 , b , 0) ≠ ( 0 , 0 , 0)

Portanto T não é uma transformação linear pois T (0V) ≠ 0W


REFERÊNCIA

BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R.; RIBEIRO, V. L. F. & WETZLER, H. G. Álgebra linear. 3ª ed – Harbra – São Paulo - 1980





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