CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR CORRENTE EM UM FIO RETILÍNEO LONGO

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CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR CORRENTE EM UM FIO RETILÍNEO LONGO

Questão 1E (Halliday 4ª edição)

O módulo do campo magnético a 88 cm do eixo de um fio retilíneo longo é 7,30 μT. Calcular a corrente no fio.

Situação.

                          

    Figura 1: Campo a uma distância R de um fio transportando uma corrente.

Dados:

R = 88 cm = 0.88 m

B = 7.30 μT = 7.30 .10^-6 T

i = ?

μ₀ = 4π .10^-7 T.m/A = 1,26 .10^-6 Tm/A

A questão diz que o fio é retilíneo e longo, o módulo do campo magnético para um fio retilíneo longo que transporta uma corrente é dado por:

                                 

Onde R é a distância do centro do fio até o ponto onde queremos calcular o campo e

             

Explicitando i na equação (passo a passo), teremos…

                      , substituindo os valores…

                                     

  é a corrente procurada.

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CÁLCULO DA INTEGRAL DO SENO AO QUADRADO

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E para ver a vídeo aula no you tube:

https://www.youtube.com/watch?v=d_-ubDztSIE&feature=youtu.be

Nessa resolução eu vou considerar que você já saiba a parte teórica sobre derivadas e integrais, por isso vou me concentrar no método de integração dessas funções.

Vamos começar pela função seno²(x), ou seja, vamos calcular a integral do seno ao quadrado de x.

Seja a integral.

Sabemos que seno ao quadrado pode ser escrito como:

Substituindo na nossa integral, temos agora uma integral na forma.

Onde a derivada da função agora obedece a regra do produto, sabemos que quando temos uma integral cuja derivada da função que estamos integrando obedece a regra do produto, devemos usar a integração por partes para o cálculo dessa integral.

A fórmula para o cálculo de uma integral por partes é.

Na nossa função devemos fazer o seguinte: Vamos dizer que.

e

Sendo assim temos:

Substituindo essas equações na nossa integral ficamos com:

Cancelamos dois sinais e a nossa integral fica:

Usando a identidade

Substituindo na nossa integral temos:

A integral das diferença será a diferença das integrais, portanto...

Sabemos que:

Pois se trata de uma integral indefinida, substituindo na nossa integral, temos...

Observe que se continuarmos integrando, nunca chegaremos a um resultado, pois teremos sempre uma integral do seno ao quadrado que é a integral que estamos calculando, usaremos um pequeno truque para chegarmos ao resultado que queremos, passamos a integral para o outro lado com o sinal invertido, é como se somássemos a integral do seno ao quadrado dos dois lados da equação, assim ficamos com…

Sabemos que a soma do seno de dois ângulos é:

,

no nosso caso (a + b) são iguais a (x + x), sendo assim teremos.

substituindo isso na nossa equação temos.

Como nós queremos só a integral do seno ao quadrado, passamos o 2 para o outro lado dividindo.

Temos que , ,

pois uma constante dividida por outra constante continua sendo uma constante, substituindo esses resultados na nossa equação terremos o resultado final.

Que é o resultado final da nossa integral.

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