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Nessa resolução eu vou
considerar que você já saiba a parte teórica sobre derivadas e
integrais, por isso vou me concentrar no método de integração
dessas funções.
Vamos começar pela função
seno²(x), ou seja, vamos calcular a integral do seno ao quadrado de
x.
Seja a integral.
Sabemos que seno ao quadrado pode
ser escrito como:
Substituindo na nossa integral,
temos agora uma integral na forma.
Onde a derivada da função agora
obedece a regra do produto, sabemos que quando temos uma integral
cuja derivada da função que estamos integrando obedece a regra do
produto, devemos usar a integração por partes para o cálculo dessa
integral.
A fórmula para o cálculo de uma
integral por partes é.
Na nossa função devemos fazer o
seguinte: Vamos dizer que.
e
Sendo assim temos:
Substituindo essas equações na
nossa integral ficamos com:
Cancelamos dois sinais e a nossa
integral fica:
Usando a identidade
Substituindo na nossa integral
temos:
A integral das diferença será a
diferença das integrais, portanto...
Sabemos que:
Pois se trata de uma integral
indefinida, substituindo na nossa integral, temos...
Observe que se continuarmos
integrando, nunca chegaremos a um resultado, pois teremos sempre uma
integral do seno ao quadrado que é a integral que estamos
calculando, usaremos um pequeno truque para chegarmos ao resultado
que queremos, passamos a integral para o outro lado com o sinal
invertido, é como se somássemos a integral do seno ao quadrado dos
dois lados da equação, assim ficamos com…
Sabemos que a soma do seno de
dois ângulos é:
,
no nosso caso (a + b) são iguais
a (x + x), sendo assim teremos.
substituindo isso na nossa
equação temos.
Como nós queremos só a integral
do seno ao quadrado, passamos o 2 para o outro lado dividindo.
Temos que
,
,
pois uma constante dividida por
outra constante continua sendo uma constante, substituindo esses
resultados na nossa equação terremos o resultado final.
Que é o resultado final da nossa
integral.
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