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Beneficiário:
José Roberto
Você pode ver essas resoluções em vídeo clicando nos links abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=IfFEJ3Tsm_I&feature=youtu.be
Letra a
https://www.youtube.com/watch?v=2znywGzuO9Q&feature=youtu.be
Letra b
Determine quais das seguintes funções são aplicações
lineares.
a) f : ℝ² → ℝ² ; (x , y) ↦ (x + y , x – y)
Sol.
a)
Para verificar quais dessas
funções são transformações lineares devemos usar a definição de transformação
linear e verificar se elas satisfazem as duas condições.
Definição:
Sejam V e W dois espaços
vetoriais, uma transformação linear é uma função de V em W, (F: V → W), que
satisfaz as seguintes condições:
i) Quaisquer que sejam u, v ∈
V,
F (u + v) = F(u) + F (v)
ii) Quaisquer que sejam k ∈
ℝ e v ∈ V,
F (kv) = kF(v)”.
Verificando a primeira condição para
f : ℝ² → ℝ² ; (x , y) ↦ (x + y , x – y)
Sejam: u = (x1 , y1) e v = (x2 , y2) ∈ ℝ²
u + v = (x1 , y1) + (x2
, y2)
= (x1
+ x2 , y1 + y2)
f (u) = f (x1 , y1) = (x1 + y1 , x1 - y1)
f (v) = f (x2 , y2) = (x2 + y2 , x2 – y2)
f ( u + v) =
f (x1 + x2
, y1 + y2) = [(x1 + x2) + (y1
+ y2) , (x1 + x2) - (y1 + y2)]
= (x1
+ x2 + y1 + y2
, x1 + x2 - y1
- y2)
= (x1 + y1 + x2 + y2 , x1 – y1
+ x2 - y2)
= [(x1
+ y1) +( x2 + y2)
,( x1 – y1) +( x2 - y2)]
= (x1
+ y1 , x1 - y1) + (x2 + y2
, x2 – y2)
f (u
+v ) = f (u) + f (v)
A primeira
condição foi satisfeita f (u +v ) = f (u) + f (v)
Verificando a segunda condição…
Sejam k ∈
ℝ e u = (x1 , y1) ∈
ℝ²
k(x1
, y1) = (kx1 , ky1)
f (ku) = f (kx1 , ky1) = (kx1 +k y1 , kx1 -
ky1)
= k(x1 + y1 , x1
- y1)
=k f (kx1 , ky1)
f (ku) = k f (u)
A segunda condição também foi satisfeita,
então podemos afirmar que a função dada
f : ℝ² → ℝ² ; (x , y) ↦ (x + y , x – y) é uma aplicação linear (transformação
linear)
g (u + v) ≠ g (u) + g (v),
a condição (i) não foi satisfeita, isso é o suficiente para afirmarmos que g : ℝ² → ℝ ; (x , y) ↦ xy não é uma
transformação linear
b) g : ℝ²
→
ℝ ;
(x , y) ↦ xy
Utilizando um procedimento análogo, vamos pegar dois
vetores do domínio e verificar se as condições (i) e (ii) são satisfeitas.
Sejam: u = (x1 , y1) e
v = (x2 , y2) ∈ ℝ²
u + v = (x1 , y1) + (x2
, y2) = (x1 + x2 , y1 + y2)
g (u) = g (x1 , y1) =
x1y1
g (v) = g (x2 , y2) =
x2y2
g (u+v) = g (x1 + x2 , y1 + y2) = (x1 + x2)(y1
+ y2)
= x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2
g (u+v) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2
≠ x1y1 + x2y2
