BOLDRINI – EXERCÍCIO 1 – SECÇÃO 5.6

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https://www.youtube.com/watch?v=5nckNVeHl1s&feature=youtu.be
letra a
https://www.youtube.com/watch?v=p5qjfvfKUp8&feature=youtu.be
letra b

Aproveitem!

Seja T: V → W uma função. Mostre que:

a) Se T é uma transformação linear, então T(0) = 0.

b) Se T(0) ≠ 0, então T não é uma transformação linear.

Sol.

Decorre da definição que uma transformação linear T: V → W leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W, ou seja, se 0 ∈ V, T(0) = 0 ∈ W.

Para mostrar que se T(0) = 0, T é uma transformação linear, devemos usar a definição de transfar a definiço linearormação linear que diz, “Sejam V e W dois espaços vetoriais, uma transformação linear é uma função de V em W, F: V → W, que satisfaz as seguintes condições:

i) Quaisquer que sejam u, v ∈ V,

F (u + v) = F(u) + F (v)

ii) Quaisquer que sejam k ∈ ℝ e v ∈ V,

F (kv) = kF(v)”.

Da definição de espaço vetorial, sabemos que em cada espaço existe um vetor nulo que é o elemento neutro da adição, que é uma das propriedades do espaço vetorial, essa propriedade diz que existe v e –v (simétrico de v) que pertencem ao espaço V tal que a soma de v com seu simétrico resulta no vetor nulo de V, matematicamente…

∃ -v e v ∈ V| v + (-v) = 0_V

Verificando a primeira condição…

Sejam v ∈ V e –v ∈ V, temos que v + (-v) = 0, então a transformação

T (v + (-v)) = T (0) = 0 = T (v) + T (-v)

Primeira condição satisfeita

Verificando a segunda condição…

Sejam k ∈ ℝ | k = 0, v ∈ V, temos que, kv = 0v = 0, então a transformação

T (kv) = T (0v) = T (0) = 0 = 0T(v) = kT(v)

Segunda condição satisfeita

Mostramos que se T (0) = 0, T é uma transformação linear.

b) Para mostrar que se T (0) ≠ 0, T não é transformação linear temos que fazer o seguinte, pegamos uma transformação linear qualquer e aplicamos o vetor nulo do espaço em questão e verificamos se atende à condição.

Seja T: ℝ² → ℝ³ ; T (x , y) = (x , y + b , x + y)

Pegamos o vetor nulo do ℝ² e verificamos se T (0) = 0.

0 ∈ ℝ² = ( 0 , 0)

T (0) = T (0 , 0) = (0 , 0+b , 0+0)

         = T (0 , 0) = (0 , b , 0) ≠ ( 0 , 0 , 0)

Portanto T não é uma transformação linear pois T (0_V) ≠ 0_W

REFERÊNCIA

BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R.; RIBEIRO, V. L. F. & WETZLER, H. G. Álgebra linear. 3ª ed – Harbra – São Paulo - 1980

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Tipos de Fração

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Você chegou até aqui porque procurava por frações, você poderá baixar esta aula em pdf nos links abaixo;
4shared: http://www.4shared.com/office/OnABilZGce/Tipos_de_frao.html
Dropbox: https://www.dropbox.com/s/0gtg64zq7gyf4wk/Tipos%20de%20fra%C3%A7%C3%A3o.pdf?dl=0
E podem ver as vídeo aulas nos links abaixo, parte 1:
https://www.youtube.com/watch?v=iDi729F99No&index=1&list=PLBscvfk1zB3HefFuLcgiq_BD64ca0s_iH
Parte 2:
https://www.youtube.com/watch?v=d4Bop66x3dQ&index=2&list=PLBscvfk1zB3HefFuLcgiq_BD64ca0s_iH

Baixem as aulas e acompanhem as vídeo aulas pelo you tube, espero que aproveitem, bons estudos.

Como vimos em nossa última aula frações representam partes de um inteiro, mas existem aquelas que não representam partes de um inteiro. Daremos inicio agora ao estudo de alguns tipos de frações, estudaremos em nossa aula as frações dos tipos: próprias, impróprias e aparentes.

                                  

                                    
                                                       FRAÇÕES PRÓPRIAS

Frações próprias são todas as frações em que o numerador é menor que o denominador, esse tipo de fração realmente representa uma parte de um inteiro, aquelas frações que usamos em nossa primeira aula eram todas frações próprias.

Exemplos:

                              

FRAÇÕES APARENTES

As frações aparentes representam um inteiro ou uma quantidade inteira, esse tipo de fração é caracterizado por ter o seu numerador sempre como um múltiplo do denominador.

Exemplo:

Observe essa fração: 

Sabemos que podemos representar como:  , e  como: 

Então podemos representar  graficamente a fração  como:

Na prática  a fraçãorepresenta a quantidade inteira 3 que é o resultado da divisão de doze por quatro, agora vejamos esse outro exemplo:

Dada a fração podemos representardessa forma: 

Isso quer dizer que o inteiro corresponde ae podemos representá-lo dessa forma:

 o inteiro foi dividido em dez partes iguais, então as dez partes representam o inteiro, como faremos então para representar as quarenta partes?

Podemos fazer assim:

Vemos que  corresponde a quatro inteiros, ou seja, uma fração aparente é uma forma de representar quantidades inteiras em forma de fração, para vermos isso basta dividir o numerador pelo denominador que teremos a quantidade inteira, pegando o nosso último exemplo e dividindo 40 por 10 encontramos 4.

                                       40 ÷ 10 = 4

Mais alguns exemplos de frações aparentes.

        FRAÇÕES IMPRÓPRIAS E NÚMEROS MISTOS

Diferentemente da ideia original de frações, uma fração imprópria não representa uma parte de um inteiro e sim partes que somadas serão sempre maior que um inteiro.

Exemplo: A fração  é uma fração imprópria, uma característica de uma fração imprópria é seu numerador ser sempre maior que o denominador, e que ao contrário de uma fração aparente (que também é uma fração imprópria), o numerador nunca é múltiplo do denominador, dessa forma a divisão nunca será exata e a fração imprópria não representará uma quantidade inteira, vamos examinar a nossa fração.

A nossa fração é:       .Nós já temos uma ideia de como representar graficamente essa fração.

  

O que não é uma quantidade inteira, você poderia perguntar agora, se não é um número inteiro e não é uma parte de um inteiro, o que é então?

É um número misto ou, uma quantidade mista, como o próprio nome diz, esse tipo de fração representa uma quantidade mista onde uma parte é inteira e a outra é fracionária, no nosso exemplo pode ser visto como, a parte inteira ea parte fracionária, que ée escrevemos assim(Lê-se: um inteiro e três quartos).

Vamos a mais um exemplo.

Seja a fraçãouma fração imprópria,  representamos na forma gráfica assim.

                                 

  

Que podemos escrever como 

 E finalmenteque se lê dois inteiros e um sexto e que é a fração imprópriaescrita como um número misto.

As vezes é muito difícil ou até mesmo inviável, representar certas frações impróprias em sua forma mista usando o modo gráfico, imagine que tenhamos que escrever como números mistos as seguintes frações impróprias.se usássemos o método da representação gráfica, seria muito trabalhoso realizar a tarefa, porém existe uma forma muito prática de executarmos a tarefa, a forma prática é a divisão, afinal de contas uma fração é uma divisão, fazemos então...

                      235  ÷ 3 = 78 e sobra 1

agora devemos interpretar os resultados, como eu falei antes, uma fração imprópria é uma divisão não exata, isso significa que sempre haverá um “resto”.

Interpretando a divisão como um número misto temos que a parte inteira será o quociente da divisão “78”, a parte fracionária será o resto “1” e o divisor “3”, onde o resto “1” será o numerador e o divisor “3” será o denominador que é o mesmo da fração imprópria, então o nosso número misto fica assim:

e lê-se setenta e oito inteiros e um terço.

Então a forma mais prática de escrever uma fração imprópria como um número misto é dividir o numerador pelo seu denominador e essa é uma regra geral.

Exemplos:

dividindo...   13 ÷ 6 = 2   e resta 1,   entãoserá
dividindo...   17 ÷ 3 = 5   e resta 2,   entãoserá 

Aí você se pergunta, e se tivéssemos um número misto, como transformá-lo em uma fração imprópria?

Muito fácil, vamos pegare transformar em uma fração imprópria, para fazer isso seguimos os passos.

O que fizemos foi: 

Multiplicamos o denominador “4” pelo inteiro “3” e o resultado somamos ao numerador “2” conservando o denominador “4”,  

Vamos fazer mais alguns exemplos

Exercícios:

Dadas as frações abaixo faça um círculo nas frações próprias.

Identifique com um “x” as frações aparentes.

Separe as frações impróprias escrevendo-as ao lado.

Escreva as frações mistas na forma de frações impróprias.

Escreva a fração que representa a parte pintada: 

a) Como um número misto.

b) como uma fração

Espero que esta aula possa ajudá-los de alguma forma, por favor se gostarem compartilhem com seus amigos e familiares, críticas e elogios serão bem vindos, então por favor comentem, responderei na medida do possível.

FRAÇÕES: PARTES DE UM INTEIRO

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Essa aula postada aqui na página do blog está faltando as imagens, para que você possa acompanhar melhor a nossa vídeo aula aconselho que baixem o arquivo em pdf nos links abaixo.
   

Se você chegou aqui é porque estava procurando por frações, você pode assistir a essas vídeo aulas no link a seguir:

https://www.youtube.com/playlist?list=PLBscvfk1zB3FBtlzGov56AGpaOHYPid7v

e também poderá baixar essa aula em pdf no link:

http://www.4shared.com/office/PyEF8IlOce/Fraes_-__Partes_de_um_inteiro_.html
ou ainda pode baixá-la via dropbox pelo link:
https://www.dropbox.com/s/ge7aq9b9c67qg2l/Fra%C3%A7%C3%B5es%20-%20%20Partes%20de%20um%20inteiro%20%20parte%201.pdf?dl=0

Então, bons estudos.

As frações surgiram pela necessidade de representar aquilo que é menor que um inteiro. Esse inteiro pode ser qualquer coisa, uma pizza, uma barra de chocolate, um pedaço de corda ou qualquer coisa que possa ser dividida.

 

      Pizza                                           Corda                                         Chocolate

Se dividirmos os objetos acima como vamos representar suas partes? Veja:

A pizza está dividida em 8 partes, então o inteiro da pizza, (pizza inteira) pode ser representada assim.      8/8 =1

A corda está dividida em duas partes, então o inteiro da corda, (corda inteira) pode ser representada assim.  2/2 =1                                                                            

A barra de chocolate está dividida em 28 partes, então o inteiro da barra de chocolate (barra inteira), pode ser representada assim.   28/28 = 1

Você pode notar que uma fração nada mais é do que uma divisão, onde dividimos o inteiro (que pode ser qualquer coisa) e tomamos algumas partes as quais representamos por meio de frações.

Se pegássemos uma fatia da pizza, ou a metade da corda ou ainda alguns pedaços da barra de chocolate, como os representaríamos?

A pizza foi dividida em 8 partes e era representada por 8/8, se pegarmos uma dessa fatias pegamos 1/8  da pizza.

(lê-se um oitavo da pizza).

A corda foi dividida em 2 partes e era representada por2/2, se pegarmos uma dessas partes pegamos 1/2 da corda.

(Lê-se um meio da corda).

A barra de chocolate foi dividida em 28 partes e era representada por 28/28, se pegarmos seis dessas partes pegamos  6/28  da barra de chocolate.          (Lê-se seis vinte e oito avos da barra de chocolate).

Abaixo mais representações de partes de inteiros por meio de frações.

 2/3  (Lê-se dois terços)

1/4  (Lê-se um quarto)     

4/6   (Lê-se quatro sextos)

 3/9  (Lê-se três nonos)

A fração da figura representa o inteiro que foi dividido em quatro partes das quais tomamos duas, a fração da figura pode ser lida como dois  quartos.

Na indicação de uma fração usamos um traço horizontal e dois números um acima do traço e outro abaixo do traço, esses dois números são os termos da fração, o numero de cima é chamado de numerador, ele indica quantas partes do inteiro foram tomadas, o número abaixo do traço é chamado de denominador, ele indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.

                                          

                                                                         

                                                                                         LENDO FRAÇÕES

A leitura de uma fração depende do seu denominador, a palavra “denominador” significa “aquele que dá nome”. Quando a fração cujo denominador é uma potência de dez, (10, 100, 1000,...,100000),  lê-se o numerador e acrescenta-se as palavras décimo, centésimo ou milésimo. Essa frações são chamadas de frações decimais.

Exemplos:

 2/10 Lê-se dois décimos,                                  32/100 Lê-se 32 centésimos,                             25/1000 Lê-se vinte e cinco milésimos,  

 5/10000  Lê-se 5 décimos de milésimos,     1/100000 Lê-se um centésimo de milésimo

Quando o denominador é menor que 10, cada fração lê-se de um jeito próprio.

Exemplos:

1/2 --- Um meio         1/3 --- um terço                2/4 --- Dois quartos         3/5 --- Três quintos

2/6 --- Dois sextos      4/7  --- Quatro sétimos      5/8  --- Cinco oitavos       6/9 --- Seis nonos

Para ler frações cujo denominador é maior que dez e que não sejam decimais, lemos numerador, denominador e acrescentamos a palavra “avos”.

Exemplos:

 3/2000--- Três dois mil avos                           2/15 --- Dois quinze avos     

7/86 --- Sete oitenta e seis avos                          8/20 --- Oito vinte avos

Exercícios:

1. Escreva por extenso como se lêem as frações dadas:

2/5____________________________     1/2012 _______________________________

4/10000________________________     14/67 ________________________________

2/9____________________________     5/100 ________________________________

2. Você já utilizou frações para representar partes de um inteiro, observando as frações abaixo escreva a fração que representa o inteiro dela:

5/6 _________      2/1000 _________       14/47 _________     1/3 _________

3/2000_______      6/9 ____________       45/100________     5/8 _________

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A QUEM ESSES PARLAMENTOS REPRESENTAM?

A pergunta não é inoportuna, pelo contrário é oportuna e atual, como já sabemos um parlamento é composto por pessoas eleitas pelo cidadão para representá-lo junto a outras pessoas também eleitas por outros cidadãos de outras regiões que buscam através do debate defender os interesses daqueles que os elegeram, e como todos nós também sabemos, estamos falando das nossas câmaras legislativas municipais, estaduais e federal, e no âmbito federal ainda “contamos” com um senado federal.

Um pré-requisito para qualquer parlamento é idoneidade, um parlamento tem que ser idôneo e trabalhar para aquele que o elegeu como órgão público e destinado ao público, um segundo requisito é honestidade, porque deduzimos que este parlamento represente cidadãos honestos, e que esse mesmo parlamento seja composto por servidores públicos com o objetivo de servir ao público com presteza e sem partidarismos. Poderíamos enumerar muitos requisitos e funções atribuídos a parlamentos e em todos esses requisitos os nossos parlamentos seriam reprovados.

A nossa câmara federal está constantemente envolvida em escândalos, é “mensalão”, dinheiro na cueca, protecionismos de todas as espécies, deputados condenados e presos cumprido mandato de deputado, fazem tudo isso e se esquecem de fazer o que foram eleitos para fazer, que é legislar em favor da população que o elegeu, mas fazem justamente o contrário, legislam pensando em futuras interpretações da lei por advogados mal intencionados em seu favor, livrando-os da cadeia e garantindo a posse do fruto de seu roubo, pensem nisso multiplicado em todo o país em todas as esferas, aqui em Caruaru, por exemplo, temos alguns vereadores envolvidos em uma espécie de “mensalão” (dez ao todo) que foram presos e um dos envolvidos confessou a participação da quadrilha, e todos eles estão livres e recebendo salário e lutando na “justiça” para voltarem ao “trabalho”, seguindo o exemplo de seus mentores de âmbito federal.

Agora a grande pergunta, será que você e eu que nos julgamos cidadãos honestos e cumpridores de nossos deveres sociais, legais e morais, somos representados por esses parlamentos corruptos? Se não somos nós os representados a quem eles representam?